La Matemática Andina Precolombina[1]
(Conferencia pronunciada en el seminario “ 5000 años de Arquitectura Andina”)
por
· Marcos Guerrero Ureña
meguerrero @ puce.edu.ec
telf: 521947
21 de Marzo de 2003
Quito-Ecuador
Introducción
La historia de la ciencia se ha ido elaborando bajo la premisa de que la configuración básica del saber científico es un proceso acaecido dentro de las fronteras de la civilización Occidental. Si bien hoy se tiende a admitir que los importantes y copiosos desarrollos intelectuales de las antiguas culturas egipcia y babilónica, o de la hindú y china, son progenitores de ese saber, no se los reconoce, en cambio, como productos científicos propiamente dichos. El argumento esgrimido es bastante convincente y recoge el hecho de que ninguno de los antecedentes de la matemática griega alcanzó a sistematizarse como una geometría -al modo de los Elementos de Euclides, con cuya aparición pudo cimentarse el escenario para la fluida realización del pensar y el conocer-.
¿Pero fue, en efecto, este hito fundador el acontecimiento del que se ha desprendido toda ciencia posible, o hubo, en alguna otra parte del planeta Tierra, una invención equivalente, un desarrollo paralelo de un sistema de referencia igualmente apropiado para la expresión de las ideas?. De dar crédito a esta posibilidad: ¿cuál es esa otra ciencia, dónde y cómo se originó?, ¿fueron sus condiciones de partida, principios, objetivos y formas constructivas idénticos a los de la ciencia reconocida?, o ¿fueron saberes de distinta raíz y tallo, cuyas diferencias piden explicación? ¿Podrían comunicarse las dos ciencias en pie de igualdad? ¿Qué consecuencias y beneficios cabe esperar de aquello?
Antes de contestar tan inquietantes preguntas permítanme amigos darles a conocer los primeros resultados de la investigación que vengo realizando sobre la ciencia geométrica americana precolombina. Logrado este propósito, les aseguro que estaremos en buenas condiciones para contestar las mencionadas preguntas de manera satisfactoria.
Es necesario decir que estas geometrías, hasta hoy, han sido vistas como un producto exótico y, al mismo tiempo, apreciadas con una mezcla de perplejidad y menos precio.
Lo primero que debo manifestarles es que éstas se ocuparon tanto de la parte cuantitativa como cualitativa del mundo y consistieron en dos ramales: una Geometría Analítica Fractal totalmente desconocida hasta la fecha, que no consta en los Anales de Matemáticas, y una Geometría Arborescente o p-ádica. Éstas, al ser combinadas de manera complementaria, configuraron el Kipu, genuino sistema de coordenadas de referencia capaz de representar con una alta resolución, tanto la cantidad como la calidad de los procesos concretos, y útil para realizar predicciones fiables. Como consecuencia lógica tubo lugar el nacimiento de una Cosmovisión, asimismo, geometrizada.
Este sistema matemático, que lamentablemente ha permanecido mucho tiempo cautivo de una pobre comprensión, fue la máxima expresión de la ciencia americana precolombina. Gracias él pudieron surgir la astronomía, la medicina y las diversas clases de ingenierías que tuvieron un interés eminentemente práctico.
Pasemos pues a conocer a estas matemáticas.
Una Geometría Analítica Fractal
Debo empezar diciendo que lo primero que descubrí fue un sistema de coordenadas de referencia basado en la cruz cuadrada. Esto tubo lugar gracias al conocimiento acerca de este sagrado símbolo andino contenido en la obra de Carlos Milla, Génesis de la Cultura Andina. Así fue cómo, al estudiar los gráficos números 70 y 71 (ver recuadro 8) del mencionado libro, aplicando los novísimos conceptos de Espacio Matemático de Representación (ver recuadro 1) y objeto fractal (ver recuadro 2), pude probar que la distribución de cruces concéntricas que en ellos se observa constituían un cuerpo topológico fractal, distinto del sistema cartesiano generado por la cultura del Viejo Mundo, pues estaba construido en un espacio de cuerdas; a diferencia del otro, que está definido en un espacio de puntos-límite. Una vez que pude aislar el objeto matemático del objeto simbólico tuve el privilegio de tener al frente mío a un genuino y totalmente desconocido Sistema de Coordenadas de Referencia de carácter fractal, apropiado para representar funciones de carácter discreto, cuántico. Recordemos que el sistema inventado por Descartes es apropiado, en cambio, para representar funciones continuas y diferenciables.
El dominio al que pertenece esta inédita geometría analítica es el de la matemática inductivo-constructiva.
En el recuadro 3 se presenta a los dos sistemas de coordenadas. Se observa que el único elemento en común que tienen los dos espacios de representación es el punto 0 y, también se advierte que, cuando los lados exteriores de la cruz tienden a cero, este sistema coordenado tiene como límite al cartesiano. Se prueba fácilmente que los dos por igual son cuerpos topológicos, espacios matemáticos de representación, pero con distinta clase de topología. Mientras en el primero se realiza una topología de puntos-límite o diferencial, en el otro se ejecuta una topología de cuerdas.
Lo he denominado “Sistema de Coordenadas de la Cruz Cuadrada” y sirve para representar funciones cuya variable independiente n, es un número Z+ (ver recuadros 4 y 5). Su parte exterior-macro es útil para la graficación de funciones crecientes y la interior-micro para funciones decrecientes, escritas como sucesiones fraccionarias infinitas. Observemos que los valores de la función aparecen expresados por los lados de la cruz, mediante la curva fractal de dimensión D=1.4649735... En otras palabras, la familia de curvas fractales cuadradas concéntricas representan los valores numéricos sucesivos que va tomando la función.He aquí pues, un sistema apropiado para representar y estudiar las propiedades de las funciones discretas, y útil por tanto, para describir los cambios de estado que sufren los procesos concretos, a diferencia del espacio de puntos-límite que sólo es apropiado para describir los cambios de posición de las partículas, para representar la parte mecánica de la realidad; o sea, sólo es capaz de representar el aspecto cuantitativo del mundo. Por tanto nos entrega una visión fragmentada del mismo.
Es de sumo interés hacer notar que la distribución de las curvas fractales cuadradas concéntricas vista en tres dimensiones es una pirámide escalonada, cuya altura es una dimensión libre y continua (ver recuadro 4.1). Esto hace que resulte apropiada para definir en ella un sistema de coordenadas espacio-tiempo, con el espacio discreto y el tiempo continuo, que permitirá describir la duración de los cambios de estado, por ejemplo. En ella también se puede representar a los números complejos de la forma s=f(n)+g(t)i, con f(n) discreta y g(t) continua. Resaltemos esta bondad del sistema que me permite coordinar las funciones discretas y continuas, cualidad que no posee el sistema cartesiano; puesto que, al estar conformado todo él por puntos-límite, es trascendente y por tanto resulta absolutamente excluyente, no se lleva ni consigo mismo, ya que se vuelve paradójico, ambivalente, a la hora de dar cuenta de sí (efecto Gödel). Al quedar establecido de esta manera que él no es único, pierde el carácter universal que venía manteniendo hasta ahora, se vuelve culturalmente relativo.
Con este descubrimiento ha resucitado la Geometría Analítica Fractal desarrollada por el hombre andino precolombino, que permite estudiar las propiedades de las funciones discretas y de las series divergentes; temas éstos, imposibles de ser estudiados en el espacio puntiforme occidental. Este gran paso en el progreso de las ciencias universales coloca a esta rama de la geometría en el escenario de las matemáticas de vanguardia.
De manera general, el sistema se opera como sigue:
a) Dado un espacio de cuerdas Ec, -definido en el espacio métrico que tiene como unidad estructural al cuadrado- elijo convenientemente al cuadrado unidad que será el centro de coordenadas. Acto seguido construyo la cruz cuadrada unitaria y trazo las diagonales del cuadrado central y las de la cruz (que son los ejes de coordenadas), dejando así el sistema listo para ser utilizado (recuadro 3).
b) Ahora, supongamos que quiero representar la función f(n), definida en el conjunto de los números enteros positivos, Z+. Para ello, comenzando siempre en el centro 0, voy colocando en el eje d1 los valores del producto Cn = Ö2/2 ´ f(n) tras cada iteración, de tal manera que por cada valor de n = 1, 2, 3.. se tendrá uno para la cuerda C (aquí Ö2/2 es la cuerda unidad). De inmediato, hago lo propio en el eje D1 con los valores del producto Cn = Ö10/2 ´ f(n) (aquí Ö10/2 es la cuerda unidad). Luego, uno los extremos de estas dos cuerdas; o sea, realizo su producto topológico. Así pues, al poner en coordinación d1 con D1, obtengo como resultado la cuerda que es el lado de la cruz. Para bien comprender esto recordemos que en el espacio diferenciable el producto “topológico de dos puntos” o producto cartesiano es otro punto al que le corresponde un par ordenado de números definidos en el conjunto R X R, y así mismo se lo consigue poniendo en coordinación dos puntos cualesquiera de los ejes coordenados.
La demostración de que la función f(n) siempre vendrá expresada por el lado de la cruz se presenta en el recuadro 4.2.
c) Finalmente, hago lo mismo en los cuatro ejes restantes y obtengo las curvas cuadradas cerradas que representan los valores que toma de f(n) después de cada iteración.
Veamos unas aplicaciones:
Como ya dijimos, en los recuadros 4 y 5 están representadas la función f(n)=n y su inversa f(n) =1/n que sigue la ley armónica {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…}. Ahora, si f(n) = (Ö10 )n obtenemos la ley de crecimiento del lado de la cruz: Ln = (Ö10)n (donde Ö10 es la diagonal de la cruz unitaria)(ver recuadro 8). O, si f(n) = (Ö2)n, la ley de crecimiento del lado de la cruz: Ln = (Ö2)n. Por último debo manifestar que el sistema opera para el requerimiento inverso, esto es, dada una regularidad cualquiera, escrita como una sucesión, yo puedo encontrar la función que se distribuye según el lado de la cruz (ver recuadro 7). [Aquí, Cn = Ö10/2. f(n)].
Es importante observar que, cualquier distribución de cruces cuadradas que siga una ley determinada, tiene su equivalente en la distribución de sus respectivos círculos circunscritos e inscritos, cuyos diámetros expresan la función que deseo representar. Así, dada la función f(n), el lado de la cruz será Ln = f(n), el diámetro del círculo circunscrito Dn= Ö10 f(n) y el diámetro del círculo inscrito dn = 3 f(n). Ahora, en tres dimensiones, la pirámide escalonada se trasformará en un cono recto circular trunco y escalonado. Además debo manifestar que en este sistema de coordenadas se desarrolla de manera natural la geometría vectorial correspondiente.
Regresemos al recuadro 3 y pongamos nuestra atención en la distribución f(n) =1/n. Nótese que el perímetro de cada curva cuadrada, que tiene 12 lados, vendrá expresado por Pn= 12 Ln = 12.1/n, así mismo, cada círculo circunscrito tendrá una circunferencia Cn= Ö10 p.1/n y cada círculo inscrito una cn= 3 p.1/n. Si elevo al cuadrado el lado de la cruz tendré su área, Sn= 5(Ln)2 = 5/n2 (cinco por que son 5 los cuadrados de los que se compone cada cruz). Luego sigo con el volumen Vn= 5(Ln )3 = 5/n3 y así sucesivamente para m dimensiones. Lo propio hago con los círculos inscritos y circunscritos.
Como podemos constatar hemos generado una “variedad fractal multidimensional”, por estar formada por una familia de curvas fractales que exhiben la propiedad de homotecia. Le invito amable lector a ver el desarrollo completo de ésta en los recuadros 8 y 9.
De su lectura, lo más sorprendente es el inusitado encuentro con la función z(s) de Euler-Riemann, al sumar las distribuciones de la variedad desde n=1 hasta ¥. Lo primero que salta a la vista es que el perímetro resultante P es infinito y, sin embrago, su área, su volumen, hipervolumen, etc. son finitos. Esto nos pone en evidencia que este proceso de fraccionamiento infinito es análogo al que sucede en la curva de Von Koch, lo que nos lleva ha concluir de que se trata de una curva fractal. La serie que lo describe es la función z(m) para m=1, justamente el valor para el cual ésta no tiene punto-límite puesto que es divergente, no tiene imagen ni analítica ni geométrica ya que ha “caído en un hueco”, en una singularidad.
Benoît Mandelbrot en su libro Los Objetos Fractales se preguntó:“¿Son fractales las singularidades de las ecuaciones de Navier-Stokes?”. Ahora, yo contestaría diciendo que sí, que detrás de los “infinitos” que aparecen en las ecuaciones diferenciales lo que hay son curvas fractales, al igual que todas las series infinitas que son divergentes, pues no tienen imagen en el espacio analítico-diferencial; pero sí lo tienen, en cambio, en el espacio de cuerdas, y constituyen los perímetros infinitos de todas las variedades fractales que se puedan construir con ellas. También vale decir que se consigue una verdadera e inédita cuadratura del círculo, al haber construido mediante el fraccionamiento infinito de la cruz cuadrada una resultante que tiene como unidad a un cuadrado de lado igual a p (recuadro 9).
En lo relativo al cálculo de las integrales de la función “Z”, desde los tiempos de Riemann se conoce que para valores pares de la dimensión:
m z(2k) =22k-1 p2k B2k /(2k)!, donde los B2k son los números de Bernoulli y k = 1, 2, 3..; pero para los impares de m todavía no se conoce una fórmula general que genere todos los valores de z(s), sin embargo puede decirse que tienen la forma:
z(2k-1) =1/(2k-2)! C2k-1p2k-1, donde la constante C2k-1 no se conoce. Aquí cabe la pregunta ¿tiene sentido abrigar esperanzas de que este problema tenga solución?. La posibilidad más prometedora parece ser la de calcular dichos límites por convergencia p-ádica. De tener éxito este cometido, mostraría que la función ”Z” obra como una suerte de “cremallera” entre el espacio métrico y el p-ádico, compuesta por puntos-límite provenientes de estas dos clases de espacios, los pares del primero y los impares del segundo. Todo esto, gracias a su excepcional propiedad que expresa la existencia y unicidad de la descomposición en factores primos que permite ir del un espacio al otro en los dos sentidos, transformándose de suma en producto y viceversa.
Es de particular importancia observar en el recuadro 9 que entre la dimensión 3 y 4 puede construirse un supervolumen fractal de dimensión 3,4.
Finalmente, puedo decir que tenemos entre manos una Topología de Cuerdas que está por desarrollarse y que sería análoga a la Topología Diferencial. En la primera se deforman las cuerdas, en la segunda se deforma un compacto de puntos-límite.
El cromático sistema matemático del Kipu
Las matemáticas arborescentes o de las descendencias o p-ádicas están relacionadas con la estructura lógica del kipu. Esto nos indica que tenemos ante nosotros otra clase de espacio de representación, distinto del métrico, en el cual está expresada la geometría que acabamos de presentar. Este nuevo espacio le fue sugerido al hombre andino, sagaz observador de su entorno, por las ramas o raíces de una planta, en lo que tiene que ver con su estructura, y por el proceso reproductivo, en lo relacionado con la lógica del árbol de descendencias o genealógico. A éste le sirvió en las operaciones del cruzamiento genético de los cultivos para la producción de mutantes, pues se podía simular el proceso mediante el sistema de nudos y ramas y calcular las características de los descendientes por medio de la distancia genética ó p-ádica (ver figura 1 y recuadro 1) que determina el grado de parentesco entre los descendientes y está dada por el número de ramas que separan a éstos de su progenitor. El antiguo hombre andino no debió tardarse en descubrir inductivamente los propiedades de este espacio en forma enramada. Entre ellas tenemos a una de inmenso alcance gracias a la geometría causal que brinda para ser usada en la clasificación jerárquica, por ejemplo. Es el mas potente método de clasificación usado por el
Árbol Genealógico
Antonio
Juan Alfonso José Mercedes Elvira
Fig. 1
La distancia que separa a dos primos hermanos de la misma generación como José y Mercedes se obtiene contando el número de ramas que los separan de su progenitor (Juan), es decir vale 2 y la distancia entre Mercedes y Elvira será igual a 4. Por tanto, la distancia entre José y Elvira (4) debe ser, según la propiedad de la distancia p-ádica (ver recuadro 1), menor o igual que la mayor de las otras dos (4).
Las matemáticas p-ádicas surgieron entonces del cuerpo topológico constituido por un árbol y unas desconocidas relaciones con los enigmáticos números primos p. La clase de árboles involucrada en este nuevo espacio matemático de representación es aquella que sigue el orden de los números primos en su ramificación. Así se tendrá entonces, los árboles infinitos 2-ádicos, 3-ádicos, 5-ádicos,..., p-ádicos, los cuales son regulares, simétricos, infinitos y tienen en lugar de punto-límite, “hoja”- límite (ver recuadro 10).
cerebro humano para crear la mente mediante la organización de la información que proviene de la experiencia sensible. El primer occidental en utilizar este espacio de representación a la manera del kipu fue el filósofo austriaco Ludwig Wittgenstein (1889-1951) en su obra Tractatus logico-philosophicus, discurso en el que las proposiciones que lo componen están articuladas mediante una sintaxis arborescente y donde es usado, por primera vez en Occidente, la numeración decimal para marcar las ramas del árbol. Su anterior sistema ordinal era el de los números enteros. Pero es, sin duda alguna, la posibilidad que se tiene de definir un sistema de coordenadas espacio-tiempo la bondad más prominente que adquiere cuando se combina con la métrica fractal de la cruz cuadrada. La variedad espacio-tiempo que se puede definir es de cinco dimensiones: tres espaciales que determinan la forma del nudo y expresan cantidades y dos temporales, una para el tiempo métrico reversible y otra para el tiempo cualitativo irreversible, como el que marca el clima. La primera representada por las ramas en las distancias entre nudos y la otra expresada con el color del nudo. La aplicación más sencilla que se puede realizar es la del kipu agrícola.
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Fig. 2
En la figura 2 el nudo rojo representa a la superficie sembrada (S.S), tanto la cantidad por la forma del nudo, cuanto el tiempo climático que hizo cuando se sembró por el color de éste, luego sacamos un ramal con un pequeño nudo en la punta para registrar con su forma la cantidad de superficie perdida por la acción de una plaga y con el color la clase de ésta, la fecha en que esto sucedió se marca en la cuerda principal, allí donde nace el pequeño cordel. Supongamos que más tarde el sembrío es asolado por una helada, entonces, repetimos el procedimiento y documentamos el acontecimiento. El siguiente nudo (amarillo) expresa la superficie cosechada (S.C). El nudo de color marrón que sigue registra el volumen final de la producción. Pero, como durante el trayecto de la cosecha al almacenamiento en los tambos reales había pérdidas por otras causas se anota el acontecimiento de la misma manera anterior. Como en el trayecto de los tambos al consumidor final también habrán pérdidas, éstas serán registradas igualmente.
El kipu originalmente fue inventado como un instrumento de predicción de los cambios experimentados por un sistema agrícola, a consecuencia de las catástrofes climáticas- fenómenos impredecibles según la pauta de los calendarios astronómicos- en un ambiente como el de los andes, donde esas fluctuaciones no son la excepción. Sin embargo, como hemos visto su uso trascendió, ciertamente, el dominio agrícola. Lo manejaron: astrónomos, astrólogos, historiadores, curacas, jueces, chasquis, gobernadores, inspectores y otros.
Como podrá ver estimado lector el kipu fue un sistema de coordenadas de referencia espacio-tiempo pentadimensional apropiado para describir y predecir los cambios de estado que sufre un sistema dado.
Hay que empezar por señalar que el kipu tiene al menos tres variables de estado: el tipo de nudos, sus colores y la distancia entre anudamientos. Para caracterizarlas usaré como referencia el kipu agrícola de la figura 2 y empezaré por la variable “tipo de nudos” que representa la forma de la función, ya sea de siembra o ya de cosecha realizadas en una superficie agrícola dada.
No es difícil levantar una función de siembra por medio de nudos. Ya la topología ha mostrado que en la forma de los nudos yacen intrínsecas funciones algebraicas. Basta, entonces, con que transformemos en un nudo -a través de un algoritmo convencional- el valor correspondiente a la solución de la función -nudos de ciertos tipos para valores comprendidos en ciertos rangos-, para que el nudo exprese automáticamente la forma funcional. A este procedimiento lo denominaremos levantamiento de funciones por medio de nudos.
A diferencia, la cultura occidental ha privilegiado el entendimiento de los cambios de posición como su idea central de movimiento, por lo qué, levantar un suceso para Occidente es medir con exactitud arbitraria la cantidad de movimiento de una partícula y, simultáneamente, su posición en el espacio. La condición de simultaneidad desaparece en la mecánica cuántica, como se recordará. A consecuencia de ello, la predictiva se vuelve de carácter estadístico, o sea, probabilístico. Por tanto para el hombre occidental, el levantamiento de un suceso consiste en establecer su métrica espacio-tiempo. En el kipu debemos ver en consecuencia una modalidad que combina tanto el espacio métrico, cuantitativo, como el espacio p-ádico, cualitativo.
Así pues, no es difícil levantar una función de siembra y cosecha por medio de nudos. Ya la topología ha demostrado que en la forma de los nudos yacen intrínsecas funciones algebraicas. Basta, entonces, con que transformemos en un nudo -a través de un algoritmo convencional- el valor correspondiente a la solución de la función -nudos de ciertos tipos para valores comprendidos en ciertos rangos-, para que el nudo exprese automáticamente la forma funcional.
La segunda variable es el color de los nudos. Colores no sólo homogéneos y básicos, como los referidos por el cronista de indias José de Acosta, sino de diferentes tonos y combinaciones, tales como los que se ven en un paisaje de la serranía andina o en una mazorca de maíz. El color simbolizaba la característica climática prevaleciente en el suceso agrícola registrado.
La tercera variable, la distancia entre anudamientos de las trenzas, encarnaba, por su parte, el tiempo medido en días terrestres de duración, como se puede apreciar en el kipu interpretado por John Murra.
Es decir que en el kipu se incorporaron dos dimensiones del tiempo: la del tiempo climático -fluctuante- y la del tiempo métrico o calendárico o astronómico -estable-. La del tiempo registrado con colores y distancias cualitativas medidas por el número de ramas y la del tiempo registrado con la medición de distancias por medio de segmentos, sugerida por la geometría de la cruz cuadrada. Ambas dimensiones del tiempo formaban parte del mismo conjunto y se hallaban correlacionadas. Si a la cuerda del kipu le considerásemos como el “vector tiempo”, entonces podríamos ver, a partir de un cierto punto de la misma, que el tiempo astronómico transcurre linealmente, siguiendo la pista recta del hilo extendido, hasta que éste se anuda y cambia de color, que es el momento en que el tiempo pasa a formar parte del espacio cualitativo -torciéndose y retorciéndose- y expresa la “dimensión” climática. A distancia de los nudos de la siembra, según el período transcurrido, se formaban los nudos de la cosecha.
El kipu agrícola describía, entonces, la transformación de la siembra en cosecha bajo una característica climática dada. Con los kipus de siembra y cosecha obtenidos de un gran trabajo de levantamiento histórico en muchas localidades agrícolas de la sierra andina y reunidos en kiputecas de celosa conservación, los kipucamayoc pasaban, entonces, a la operación topológica propiamente dicha. El interés se concentraba en identificar los invariantes de los nudos del registro agrícola correspondiente a una catástrofe climática. Una vez hallados los invariantes, o leyes del cambio de estado, la predicción agrícola podía disfrutar de una firme base, allí donde no servía el determinismo del calendario astronómico.
Existe una contundente evidencia del empleo de una matemática de funciones en el caso de la ciencia de la hidráulica, en la costa norte del actual Perú (entre la frontera con el Ecuador y la ciudad de Lima y entre la Cordillera Negra de los Andes y el Océano Pacífico), donde se desarrolló la sociedad hidráulica chimú en el siglo XII, cuya economía agrícola dependió, casi por completo, de la irrigación artificial de los suelos facilitada por las aguas del río Moche.
En el siglo indicado el fenómeno de El Niño desencadenó una devastadora inundación que destruyó gran parte del sistema de canales que los chimúes habían heredado de sus antepasados mochicas. El desastre brindó la oportunidad para reconstruir la red sobre la base de nuevos principios y utilizando otras técnicas. Tras producirse la conquista inca de Chan Chan -la capital chimú- el nuevo sistema fue abandonado y permaneció en el olvido hasta los años mil novecientos ochenta, cuando un grupo de investigadores de la universidad norteamericana de San José pudo analizar, en su laboratorio, el comportamiento hidráulico del modelo de un segmento del canal chimú de Entrevalles, más parecido a una estructura ósea que a un producto ingenieril.
Para sorpresa de los estudiosos, la forma en cruz de la sección transversal del canal, junto a las variaciones de su anchura y de la rugosidad de las paredes, mostraron que la obra fue expresamente diseñada para seguir las pautas de distintos regímenes hidráulicos comprendidos en una gama de números de Froude. El canal tiene, en su conjunto, una geometría variable, según las curvas de nivel correspondientes a la topografía del terreno.
Es decir que los ingenieros chimúes habían podido construir un sistema hidráulico flexible, capaz de resistir y acoplarse a los cambios provocados, en el terreno y en el clima, por los espasmos sísmicos y por las virulencias de El Niño.
Según el informe presentado por Charles Ortloff, jefe del equipo, el refinamiento conceptual que suponen estas innovaciones y el hecho de que el diseño responda a estándares de la actual ingeniería, indican que los chimúes poseían, seis siglos antes que los occidentales, una ciencia hidráulica sistemática, basada en la observación, el registro, la generalización y la representación analítico-geométrica.
Por tanto, debemos concluir que la sociedad andina poseyó un pensamiento algebraico cuya notación fue geométrica y no era conocida hasta el trabajo realizado por el autor de este libro. Me refiero al descubrimiento de la geometría analítica fractal de la cruz cuadrada que es la que prodiga la representación geométrica de funciones discretas o cuánticas, mediante la posición de las cuerdas, así como a la geometría arbórea que registra las funciones que rigen las descendencias.
Yo no encuentro manera más natural de explicar el genio chimú, si no es suponiendo que su modelación hidráulica transcurrió apoyándose en el kipu. Después de todo, y según el recto pensar matemático, las ecuaciones de los gases y de la hidrodinámica son enteramente deducibles de la mecánica estadística, promisorio lugar de los invariantes núdicos.
Esta magnífica complementación entre las matemáticas de la cruz cuadrada y la de los árboles dio origen al kipu como un sistema de coordenadas espacio-tiempo de cinco dimensiones, capaz de representar simultáneamente la cantidad y la calidad. Y, por tanto, para dar cuenta tanto de los cambios de posición como de los cambios de estado que acaecen en un determinado proceso. · RECUADROS
RECUADRO 1
Cuerpo Topológico es una estructura algebraica y geométrica que resulta de la unión de las propiedades de cuerpo y espacio topológico.
Cuerpo
Un conjunto K es un cuerpo si está provisto de dos operaciones internas, llamadas generalmente suma (+) y producto (·), que verifican las siguientes propiedades:
¨ K es un grupo conmutativo para la suma si:
1. x + y = y + x
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. Existe un elemento neutro 0 tal que, para todo x, se cumple: x + 0 = 0 + x = x
4. Para todo x, existe un x´ tal que x + x´= 0
¨ Asociatividad del producto:
x · (y · z) = ( x · y) · z
¨ Distributividad del producto con respecto a la suma:
x · (y + z) = x · y + x · z ó (x + y) · z = x · z + y · z
¨ Existe un elemento neutro e ¹ 0 para el producto: x · e = e · x = x
¨ Todo x ¹ 0 posee un inverso x´´, es decir: x · x´´ = x´´ · x = e
Si el producto es conmutativo; o sea, x · y = y · x, se dice que K es un cuerpo conmutativo. El conjunto Q de los números racionales, el conjunto R de los números reales, el conjunto Qp de los números p - ádicos y el conjunto C de los complejos son cuerpos conmutativos.
Distancia
Una distancia en un conjunto K es una aplicación d que asocia a todo par (x,y) de elementos de K un número real positivo o nulo d(x,y) y verifica las siguientes propiedades:
¨ d(x,y) = d(y,x)
¨ d(x,y) > 0 si y i d(x,x) = 0
¨ d(x,z) £ d(x,y) + d(y,z)
Valor absoluto
Un valor absoluto sobre un cuerpo K es una aplicación que a todo elemento x de K le hace corresponder un número real positivo o nulo, representado por |x|, tal que:
¨ |x| > 0 si x ¹ 0 y |0| = 0
¨ |x + y| £ |x| + |y|
¨ |x · y| = |x| · |y|
En tales condiciones, la expresión d(x,y) = |x - y| define una distancia sobre el cuerpo K.
Distancia p-ádica
En general, se dice que la distancia es ultramétrica si d(x,z) £ Mayor (d(x,y),d(y,z)), las distancias p-ádicas son ultamétricas.
Para un valor absoluto ultra métrico,
¨ |x + y| £ máx(|x|,|y|)
¨ |x · y| = |x| · |y|
RECUADRO 2
Dimensión Topológica y dimensión fractal ó de Hausdorff
Los objetos fractales son formas geométricas que poseen la propiedad de autosimilititud u homotecia. Esta propiedad hace que toda figura de esta clase mantenga su estructura independiente de la escala. Además se caracterizan por tener una dimensión fraccionaria D que expresa el grado de fraccionamiento o irregularidad que ésta tiene.
La geometría fractal es una rama de las matemáticas de reciente formación, su historia comienza con la publicación de: Los objetos fractales en 1975, y La Geometría Fractal de la Naturaleza en 1982, por el matemático francés Benoît Mandelbrot. En estos trabajos el autor introduce al lector en un mundo geométrico totalmente nuevo y sorprendente para los occidentales. Esto debido a que la cultura de Occidente desarrolló una geometría totalmente orientada al estudio de figuras idealizadas, absolutamente lizas, como el círculo, la elipse, la parábola, el cono, la esfera, etc., y no al de las complejas formas quebradas y aperiódicas que ofrece la naturaleza.
Desde que en 1975 hizo aparición el libro Los objetos Fractales fundando con ello la Geometría Fractal de la Naturaleza, nueva rama de las matemáticas, su influencia se ha difundido profusamente en la actividad científica, tanto en el campo teórico como en el de la aplicación práctica.
En cuanto al primero debo decir que, en base al concepto de dimensión de homotecia o de autosimilitud, se ha conseguido caracterizar a las curvas fractales como aquellas que poseen dimensión fraccionaria. Las funciones que las expresan se encuentran definidas en el espacio métrico y pueden ser continuas no-diferenciables y discretas. Esta estricta especificación de las funciones ha quedado firmemente establecida y ha llegado a constituir el fundamento ontológico de esta nueva ciencia.
Entre las variadísimas aplicaciones prácticas, los fractales han revolucionado las técnicas de generación y reproducción de imágenes con ordenador gracias a la trascripción de la lógica fractal, que permite transitar de las ecuaciones a las imágenes. Pero los investigadores no sólo han aplicado estas formas geométricas al grafismo informático, sino también al diseño de antenas, que ha provocado una impresionante explosión en el mercado de las telecomunicaciones al posibilitar el desarrollo de la telefonía celular móvil gracias a los diseños fractales que permitieron la miniaturización de éstas (como por ejemplo antenas con un diseño según el triángulo o cuadrado de Sierpinski). Antes de este acontecimiento los proyectistas, debido a la prácticamente imposible aplicación de las ecuaciones diferenciales de Maxwell para el electromagnetismo, se vieron obligados a proceder por tanteos, en su mayoría erróneos. Pero ahora, la utilización de diseños fractales ha permitido alcanzar una gran optimización de los sistemas de comunicación (el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que las diferenciales) ya que en ellos se han combinado la robustez de los que están aleatoriamente dispuestos con el buen rendimiento de los que están ordenados, todo esto con sólo la cuarta parte de los elementos. Ofreciendo así, desorden en la pequeña escala y orden en la grande.
Es realmente impresionante cómo, en muy poco tiempo, la geometría fractal ha penetrado de manera profunda en los métodos de trabajo de físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, economistas, sociólogos y artistas, pues les han permitido reformular viejos problemas en términos nuevos, y tratar problemas complejos de manera simple. Los objetos fractales, que por mucho tiempo fueron considerados como meras “monstruosidades geométricas” ó simplemente como motivos para el diseño por parte de los artistas de los teselados, subyacen en fenómenos tan variados como la distribución del gas interestelar, de las estrellas y de las galaxias, la ramificación alveolar de los pulmones, en las nubes, en los meandros de los ríos, en el tracto digestivo, en las olas del mar, en las fluctuaciones de los precios en el mercado, en la dinámica poblacional de las bacterias, en los depósitos electroquímicos, en las erupciones volcánicas y terremotos, en toda clase de fenómenos turbulentos, etc.
A mediados de los años 1980 la geometría fractal había penetrado en muchas de las ramas de la ciencia ofreciendo un nuevo espacio matemático de representación destinado a reemplazar al EMROcc., pues, describía de manera totalmente satisfactoria a la naturaleza, allí donde el otro había fracasado, allí donde probó ser apropiado sólo para describir a los sistemas mecánicos. Esto era de esperarse ya que la nueva geometría lo que simplemente hacía era inducir la clase de fractal que ofrecía la propia naturaleza. Ya no se operaba como antes; esto es, primero seleccionando un modelo idealizado previamente concebido (a priori), para luego aplicarlo al objeto concreto, pues, por fin había quedado claro para los científicos que a la naturaleza no podemos considerarla como un sistema mecánico (todos los sistemas naturales son procreados y todos los sistemas mecánicos son creados).
Esta ha sido una semblanza del encuentro del hombre occidental con la geometría de la naturaleza, lo ha hecho cual si fuese un extra-terrestre, después de haber permanecido enajenado de ella por más de cuatro mil años. Todo por haberse visto abocados a tomar como único, el camino que conduce al desarrollo de las matemáticas infinitas, trascendentes. Desconociendo que, a diferencia, aquí en las américas se había utilizado la geometría fractal con idéntico propósito (describir las regularidades observadas en la realidad y realizar predicciones fiables) así mismo por unos cuatro mil años.
1. Dimensión topológica
1.1 · D = 0
1.2 D = 1 |
D = 2
1.4 D = 3 |
.
.
Cálculo de la función que expresa el concepto de dimensión
Topológica D
I l = L/2 Þ 2 = L/l 
l = L/2 Þ 4 = (L/l)2
 |
l = L/2 Þ 8 =(L/l)3 . . l = L/2 Þ N =(L/l)D |
2. Dimensión fractal
a) | | | |
b) de N =(L/l)D Þ D = log(N)/(log L/l)
 | |
Aplicando al caso b) Þ D = log5/log3 = 1.4649735....
· Recuadro 8
Variedad fractal multidimensional descrita por la función “zeta” de Euler-Riemann
· Perímetro, dimensión m =1
¥
Pn =12. 1/n S Pn =12 S1/n P =12 z(1) = 12/ (0)! ò dt/ (et – 1) = ® ¥ o
¥
Cn = Ö10p.1/n S Cn = Ö10p S1/n C = Ö10p z(1) = Ö10p/ (0)! ò dt/ (et – 1)= ® ¥
o
¥
cn = 3p.1/n S cn = 3p S1/n c = 3p z(1) = 3p/ (0)! ò dt/ (et – 1)= ® ¥
o
· Superficie, dimensión m= 2
¥
Sn = 5.1/n2 S Sn = 5S1/n2 S = 5 z( 2 ) = 5/ (1)! ò t dt/ (et – 1) = 5.p2/6 o
¥
An = 5/2p.1/n2 S An = 5/2p S1/n2 A = 5/2p z( 2 ) = 5/2p/ (1)! ò t dt/ (et – 1) = 5/2.p3/6
o
¥
Ln =1/n an = 9/4p.1/n2 S an = 9/4p S1/n2 a = 9/4p z( 2 ) = 9/4p / (1)! ò t dt/ (et – 1) = 9/4.p3/6
o
Dn = Ö10/n Volumen, dimensión m= 3
¥dn = 3/n un = 5.1/n3 S un = 5S1/n3 u = 5 z( 3 ) = 5/ (2)! ò t2 dt/ (et – 1) = 5c3 p3
o
¥
Vn = 5/3Ö10p.1/n3 S Vn = 5/3Ö10p S1/n3 V = 5/3Ö10p z(3)= 5/3Ö10p/ (2)! òt2 dt/ (et – 1)= 5/3Ö10 c3 p4
o
¥
vn = 9/2p.1/n3 S vn = 9/2p S1/n3 v = 9/2p z( 3 ) = 9/2p/ (2)! ò t2 dt/ (et – 1) = 9/2 c3 p4
o
. = .
. = .
¥ Lm = p z( m) = p.1/ (m-1)! ò tm-1dt/ (et – 1) = p.1/ (m-1)! cm pm o
¥
G m = q pz(m) = qp.1/ (m-1)! ò tm-1dt/ (et – 1) = q.1/ (m-1)! cm pm+1
o
¥
g m = r pz( m) = rp.1/ (m-1)! ò tm-1dt/ (et – 1) = r.1/ (m-1)! cm pm+1
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· BIBLIOGRAFÍA
CARLOS MILLA VILLENA
Génesis de la cultura andina, Editorial Amaútica, 1983
BENOIT MANDEL BROT
Los objetos fractales, Barcelona, Tusquets 1984
La Geometría Fractal de la Naturaleza, Barcelona, Tusquets 1997
LAURENT NOTTALE
Espacio-tiempo Fractal, Investigación y Ciencia, julio 1997
GEORGE MUSER
Fractales útiles, Investigación y Ciencia, septiembre 1999
